Đề giao lưu học sinh giỏi cấp cụm môn Toán 8 - Năm học 2021-2022 - PDG&ĐT Can Lộc (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp cụm môn Toán 8 - Năm học 2021-2022 - PDG&ĐT Can Lộc (Có đáp án)

1. ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM NĂM HỌC 2021 - 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán 8 - Đề thi cá nhân Thời gian làm bài : 120 phút (Ngày thi: 12/5/2022) I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm)(Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 1 5 Câu 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức: A x2 6x 9 x(x2 4) Câu 2. Tính tổng x4 y4 biết x2 y2 10 và xy 5 x 2 2 1 Câu 3. Tìm x thỏa mãn phương trình: x 2 x(x 2) x Câu 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 y2 6x 9 Câu 5. Tìm m để đa thức x4 3x3 6x2 5x m chia hết cho đa thức x-2 Câu 6. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để phương trình 3x - 2m =4m - 9 có nghiệm không âm. Câu 7. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong của góc A (D thuộc đoạn BC). Biết: AB=6cm; AC=8cm. Tính tỉ số: BD BC Câu 8. Tính số đo của góc tại mỗi đỉnh của đa giác đều 8 cạnh? Câu 9. Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 8 cm, BC= 6 cm. Kẻ CH vuông góc với BD. Tính độ dài đoạn CH và diện tích tam giác BCH? Câu 10. Trong một buổi họp gặp mặt học sinh giỏi, có 60 bạn học sinh nam và nữ. Bạn nữ thứ nhất quen 21 bạn nam, bạn nữ thứ 2 quen 22 bạn nam, bạn nữ thứ 3 quen 23 bạn nam, cứ như thế bạn nữ cuối cùng đã quen tất cả các bạn nam. Tìm số bạn nam, số bạn nữ trong buổi gặp mặt. II. PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm) (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 1 Câu 11. (3,0 điểm) Cho biểu thức: M = 1 2 5 x 1 2x (với x 1 x ) 2 : 2 , 1 x x 1 1 x x 1 2 a) Rút gọn biểu thức M. b)Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên. Câu 12.(1,5 điểm) Chứng minh rằng: n3 6n2 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn. Câu 13.(4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) và trung tuyến AD. Kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và đường thẳng AB tại F. Chứng minh ADF EDA và DE.DF=DB.BC b) Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. D, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH. Đường thẳng vuông góc với AB tại D cắt đường thẳng CE ở F. Chứng minh tam giác BCF là tam giác vuông. 1 1 1 Câu 14. (1,5 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 2022 . Tìm giá trị lớn nhất của x y z x y y z z x biểu thức: P x2 y2 y2 z2 z2 x2 ..........................................Hết ...........................................
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAN LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8 Thi chọn HSG Toán 8 cấp cụm– Năm học 2021 - 2022 I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (10 điểm): Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 0 Đáp số x 3; 50 x= -1 (x y 3)(x y 3) m=-6 m=1 135 216 2 Nam:40; cm 7 x 2; 25 Nữ: 20 x 0 Điểm 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1 5 1 5 Câu 1: A . Điều kiện: x 3; x 2; x 0 x2 6x 9 x(x2 4) (x 3)2 x(x 2)(x 2) Câu 2: Ta có: x4 y4 (x2 y2 ) 2 x2 y2 100 2.25 50 x 2 2 1 Câu 3: x 2 x(x 2) x Câu 4: x2 y2 6x 9 x2 6x 9 y2 (x 3)2 y2 (x 3 y)(x 3 y) Câu 5: Đa thức P(x)= x4 3x3 6x2 5x m chia hết cho đa thức x-2 nên P(-2)=0. Từ đó tính được m. Câu 6: 3x - 2m =4m - 9 x 3(m 1) => m=1 BD AB 6 3 BD 3 Câu 7: AB=6cm; AC=8cm. Ta có: DC AC 8 4 BC 7 (n 2).180 6.180 Câu 8: 1350 n 8 Câu 9: Ta có: Áp dụng Đ/l Pitago ta tính được BD=10cm. 1 1 24 S .CH.BD BC.DC CH.BD BC.DC CH (cm) BCD 2 2 5 18 Sử dụng tam giác đồng dạng ta tính được HB (cm) 5  Diện tích cần tìm Câu 10: Gọi x, y lần lượt là số bạn nam và nữ (x, y>0). Theo bài ra ta có: Bạn nữ thứ 1 quen 21 bạn nam. Bạn nữ thứ 2 quen 22 bạn nam, bạn nữ thứ y quen x bạn nam => x-y=20 và x+y=60 => x=40 ; y=20 II. PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm): Đáp án Điểm Câu 11: a. Ta có: 1 2 5 x 1 2x 1 x 2(1 x) 5 x 1 2x 0,5 M 2 : 2 2 2 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 1 x 1 x 1 x x 1
3. 1 x 2(1 x) 5 x 1 2x 2 1 2x 2 1,0 = 2 2 2 : 2 2 : 2 1 x 1 x 1 x x 1 1 x x 1 1 2x 2 b. Vì x nguyên và M có giá trị nguyên 1 2x => 1-2x = 1; 2; 1,0 => x=0; x=1 (Đối chiếu điều kiện loại x =1) Vậy x=0 0,5 Câu 12. n3 6n2 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn. Ta có: n3 6n2 8n n(n2 6n 8) n(n 2)(n 4) 0,5 Vì n chẵn nên n=2k (k là số nguyên) => n(n 2)(n 4) 2k.(2k 2)(2k 4) 8k(k 1)(k 2) 0,25 Ta lại có: k(k 1)(k 2)2 và k(k 1)(k 2)3 => k(k 1)(k 2)6 (Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau) => k(k 1)(k 2) 6t (t là số nguyên) 0,25 0,25 Do đó: n(n 2)(n 4) 2k.(2k 2)(2k 4) 8k(k 1)(k 2) = 8.6t=48t 3 2 => n(n 2)(n 4)48 => n 6n 8n48 với mọi n chẵn. 0,25 Câu 13: a. F B D C A E 0 Tam giác ADF và tam giác EDA là các tam giác vuông => ADF EDA 90 (1) 0,5 Ta có: FAD DAE 900 ;FAD AFD 900 DAE AFD (2) 0,5 Từ (1) và (2)=> ADF EDA . • DE.DF=DB.BC 0,5 Từ câu a) ta dễ dàng chứng minh được: DEC DBF (g.g) => DE DC DE.DF DC.DB (đpcm) 0,5 DB DF
4. A F E M D 0,25 C B H N b) Gọi M là giao điểm của DE và BF. N là giao điểm của FD và BC. Vì ND  AB và D là trung điểm của AB => DN là đường trung bình của tam giác 0,5 ABC => N là trung điểm của BC=> NC=BN Vì DE là đường trung bình của tam giác ABH =>DE//NC và MD//BN 0,5 DM DE Ta có: => MD=DE BN NC 0,5 = > BDM ADE (c.g.c) = >BMD ADD 900 => EM  BF BC  BF (đpcm) 0,25 2 1 1 4 Câu 14. Áp dụng các bất đẳng thức 2 a2 b2 a b ; a b a b 0,5 Ta có x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x P x2 y2 y2 z2 z2 x2 2 x2 y2 2 y2 z2 2 z2 x2 0,25 2 x y 2 y z 2 z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 2 2 2 2 2. x y y z z x x y y z z x 4 x y y z z x 0,5 2 1 1 1 P 2. 2022 4 x y z 3 Vậy minP 2022 x y z 0,25 2022