Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 - Năm học 2016-2017 - SGD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 - Năm học 2016-2017 - SGD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 HÀ TĨNH NĂM HỌC: 2016 - 2017 PHẦN THI CÁ NHÂN ĐỀ THI CHÍNH Môn: TOÁN THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang) I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên. Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29; .... Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được. 1 Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số 9 1 cá câu được, bạn câu được nhiều nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá 7 câu được của mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người. Câu 5. Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2 2 3. Câu 6. Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2 . 2 x 2x y 3 y Câu 7. Giải hệ phương trình . 2 2 x 2xy y 2 4 Câu 8. Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1. Tìm giá trị lớn nhất của y (x 2y)(y 2x) P . x2 y2 Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại điểm K nằm trong tam giác (D BC, E AB) . Biết AKE và BKE có diện tích lần lượt là 10m2 và 20m2 . Tính diện tích ABC . Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân AB giác trong CD đồng quy. Tính . AC II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) ab Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b . a b Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc B· ED cắt GH tại điểm I. a) Chứng minh rằng IH .BD IG.AC S b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích IAB . S ICD
2. Câu 13. Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. --------- HẾT--------- Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; Hướng dẫn - Đáp số: Phần I: Ghi đáp số: Câu 1: 150 Câu 2: 750797 Câu 3: 16 Câu 4: 8 1 Câu 5: x 6, y 2 Câu 6: x 2; x 4 Câu 7: x; y 1; 1 ; 3;7 594 Câu 8: P max 257 2 Câu 9: S ABC 75m AB 1 5 Câu 10: AC 2 Phần II: ab Câu 11: Do là số hữu tỉ và a b là số nguyên dương nên từ a b ab a b a b là số chính phương. Do a b 18 a b 1;4;9;16 a b Thử lại các trường hợp ta có a 2; b 7 suy ra số cần tìm là 27. Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc B· ED cắt GH tại điểm I. a) Chứng minh rằng IH .BD IG.AC S b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích IAB . S ICD Giải:
3. E B A K I H F D C a) Ta có EBD và EAC đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Suy ra: EG BD DG DE EH AC CH EC Ta có E· DG E· CH (cùng nhìn cung AB) EDG và ECH đồng dạng. Kéo theo D· EG C· EH , suy ra EI là phân giác góc G· EH . BD EG GI Do đó IH.BD IG.AC (đpcm). AC EH HI b. Ta có FBD và FCA đồng dạng FGD và F HA đồng dạng G· FD H· FA . FG GD BD IG FI là phân giác góc G· FH FH HA AC IH Suy ra FI là phân giác góc ·AFD . Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. Khi đó IM = IN 1 IM.AB S 1 Ta có IAB 2 . S 1 2 ICD IN.CD 2 Câu: 13: Xét k =7, vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên đường tròn tạo thành lục giác đều. Lúc đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra A O B Với k =8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn.
4. Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó. Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm). Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra có hai bán kính tạo với nhau một góc nhỏ hơn 600. Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc ·AOB không là góc lớn nhất của tam giác OAB nên AB max OA,OB 1 Vậy trường hợp k = 8 thỏa mãn. Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8.