Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Trường THCS Đậu Liêu (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Trường THCS Đậu Liêu (Có đáp án)

1. ĐỀ HSG LỚP 9 ĐẬU LIÊU 2 I.Tự luận:Câu 1: Biểu thức 4 2 7 3 có giá trị bằng: Câu 2: Các số x, y, z thoã mãn (3x - 5)2016 +(y2 - 1)2014 + (x - z) 2100 = 0 là ? Câu 3: Cho 20 a2 10 a2 5 biểu thức 20 a2 10 a2 có giá trị bằng: Câu 4: Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện : a2006 b2006 a2007 b2007 a2008 b2008 . Hãy tính tổng: S= a2009 b2009 Câu 5: Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm,đường cao AH dài 36cm.Tính độ dài BD, DC Câu 6: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 và x4+y4+z4 =3xyz. Hãy tính giá trị của biểu thức M = x2006 + y2006 + z2006 20132 2013 Câu 7: Tính giá trị của biểu thức P= 1 20132 20142 2014 Câu 8: Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2n +12 là số chính phương Câu 9: Tìm nghiệm nguyên của PT: xy – x – y = 2 Câu 10: Tìm số nguyên tố p sao cho p+2, p+8 , 4p2 +1 là các số nguyên tố . II.Tự luận: Câu 11: 1. Tính A 6 11 6 11 2x 1 x x 4 2. Cho biểu thức P . x ( với x 0; x 4 ) x x 1 x x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P 4 x 0 Câu 12: a. Giải phương trình 4x 2 x 8 3x2 7x 8 b.Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB AC); trung tuyến AM. Gọi ; . Chứng minh rằng sin + cos 2 1 sin. Câu 13: Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = 9 . 4 Hãy tìm GTNN của P = 1 a 4 + 1 b 4
2. Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E. a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân. c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh GB HD rằng: BC AH HC ĐÁP ÁN: I.Tự luận: Mỗi câu 1 điểm Câu 1: 4 3 7 Câu 2: Các giá trị của x = z = 5 ;y = -1; x = z = 5 ;y = 1 3 3 Câu 3: 6 Câu 4: S = 2 Câu 5: DB = 15cm, DC = 25cm Câu 6: : M = 3 Câu7. P = 2014 Câu 8: n = 4 Câu 9: (2;4); (4;2); (0; -2) ; (-2; 0) Câu 10: P = 3 và P = 5 II.Tự luận: Câu 11 ( 4 đ) a) Tính A 6 11 6 11 Nhận xét A < 0 2 A2 6 2 11 6 2 11 6 11 6 11 2 6 11 6 11 12 2 36 11 12 2.5 2 Suy ra A 2
3. (vì A < 0) 2x 1 x x 4 b) Rút gọn P . x ( với x 0; x 4 ) x x 1 x x 1 x 2 2x 1 x x 1 x 2 x 2 x x 1 . x . x x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 4 x 4 - P 4 x 0 x 4 x 2 4 x 0 x 2 Kết hợp với điều kiện ta có 0 x 4 là các giá trị cần tìm. Câu 12a. ( 2đ) Giải phương trình 4x 2 x 8 3x2 7x 8 (1) Điều kiện x 8 4x 2 . x 8 3x2 7x 8 x 8 3x. x 8 x 2 x 8 3x x 2 0 x 8 x 8 3x x 2 x 8 3x 0 x 8 x 2 x 8 3x 0 x 8 x 2 1 x 8 3x 2 Giải phương trình (1) và tìm được x =1 là một nghiệm của phương trình đã cho. Giải phương trình (2 và tìm được x =1 là một nghiệm của phương trình đã cho Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm là x=1
4. Câu 12b: ( 2 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB AC); trung tuyến AM. 2 Gọi A· CB ; A· MB  . Chứng minh rằng sin + cos 1 sin. Từ A vẽ AH  BC Vì AB < AC nên HB < HC. A Do đó H nằm giữa B và M AH 2AH Nên sin  = = AM BC  C B H M ( Vì AM = 1 BC Theo t/c trung tuyến trong tam giác vuông) 2 2 Mặt khác sin cos = sin2 + cos2 + 2sin .cos = 1 + 2sin .cos AB AC AH.BC 2AH Mà 2. sin cos = 2  = 2 2 BC BC BC BC Do đó sin  = 2.sin cos 2 Vì vậy sin cos = 1 + sin  . Bài 13 ( 2 đ) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = 9 . 4 Hãy tìm GTNN của P = 1 a 4 + 1 b 4 Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2 ; 1 và 1; 4 ta có (12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2 a 2 4 1 1 a 4 ≥ (1) Dấu “=” xảy ra a = 17 2 Áp dụng Bunhiacopski cho b2 ; 1 và 1; 4 ta có
5. b 2 4 17(b4 + 1) ≥ (b2 + 4)2 b 4 1 ≥ (2) 17 1 Dấu “=” xảy ra b = 2 a 2 b 2 8 Từ (1) và (2) P ≥ ( ) 17 9 5 Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) = a + b + ab = 4 4 1 1 Áp dụng Côsi ta có: a a2 + b b2 + 4 4 a 2 b 2 ab 2 Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được 3 1 5 (a 2 b 2 ) + ≥ a + b + ab = 2 2 4 5 1 3 1 a2 + b2 ≥ ( - ): = Thay vào ( ) 4 2 2 2 1 8 P ≥ 2 = 17 17 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 17 khi a = b = 1 2 2 Câu 14 a) (1đ điểm) Tam giác ADC và tam giác BEC: CD CA ( vì hai tam giác CDE và CAB đồng dạng) CE CB Góc C: chung Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: BEC ADC có: ADC EDC ADE 1350
6. Suy ra: BEC 1350 Suy ra: AEB 450 Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45 0 ) c)(1 điểm) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà ABC : DEC ED // AH GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC