Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 9 - Năm học 2016-2017 - SDG&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 9 - Năm học 2016-2017 - SDG&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 HÀ TĨNH NĂM HỌC: 2016 - 2017 PHẦN THI CÁ NHÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên. Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29; .... Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được. 1 Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được, 9 1 bạn câu được nhiều nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn 7 là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người. Câu 5. Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2 2 3. Câu 6. Giải phương trình 3 x 2 3 x 4 3 2 . 2 x 2x y 3 y Câu 7. Giải hệ phương trình . 2 2 x 2xy y 2 4 (x 2y)(y 2x) Câu 8. Cho các số x, y 0 thỏa mãn x 1. Tìm giá trị lớn nhất của P . y x2 y2 Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại điểm K nằm trong tam giác (D BC, E AB) . Biết AKE và BKE có diện tích lần lượt là 10m2 và 20m2 . Tính diện tích ABC . Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác trong CD AB đồng quy. Tính . AC II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) ab Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a b . a b Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc B· ED cắt GH tại điểm I. a) Chứng minh rằng IH .BD IG.AC S b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích IAB . S ICD Câu 13. Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. --------- HẾT--------- Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải. - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. Câu Đáp án Điểm Đáp số: Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4) =150 Câu 1 Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n Đáp số: 750797 Quy luật a a2 a2 với n 1,n ¥ Câu 2 n 2 n 1 n 2 2 2 2 2 2 Suy ra a7 a6 a5 a5 a4 a5 750797 Câu 3 Đáp số: 16. Đáp số: 8 Câu 4 Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là a1 a2 ... an . Ta có 9an a1 a2 .. an 7a1 9an nan ; 7a1 na1 n 8 1 Câu 5 Đáp số: x 6, y 2 Đáp số: x 2; x 4 Câu 6 Cách giải: Đặt ẩn phụ Đáp số x; y 1; 1 ; 3;7 Câu 7 Đặt t 2x y 0 . Ta có phương trình t 2 2t 3 0 t 1 594 Đáp số: P max 257 4 x x 1 2x2 2y2 5xy 5 1 x 4 ; P 2 Câu 8 2 2 x y y y y 16 x y y x x y x y 255y 1 255 257 5.16 594 2. P 2 y x y 256x 256x 16 16 16 257 257 2 Đáp số: S ABC 75m S AKE AE 1 Ta có , suy ra S BCE 2S ACE Câu 9 S BKE BE 2 M trung điểm AC nên 2 S ABM S CBM , S AKM S CKM S BCK 30 S ACE 25 . Vậy S ABC 75m AB 1 5 Đáp số: Câu 10 AC 2 Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác vuông ab Do là số hữu tỉ và a b là số nguyên dương nên từ a b Câu 11 ab a b a b là số chính phương a b Do a b 18 a b 1;4;9;16
3. Thử lại các trường hợp ta có a 2; b 7 suy ra số cần tìm là 27 E a) Ta có EBD và EAC đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. A Suy ra: B EG BD DG DE H EH AC CH EC G I Câu D F 12a C Ta có E· DG E· CH (cùng nhìn cung AB) EDG và ECH đồng dạng. Kéo theo D· EG C· EH , suy ra EI là phân giác góc G· EH BD EG GI Do đó IH.BD IG.AC (đpcm). AC EH HI Ta có FBD và FCA đồng dạng FGD và FHA đồng dạng G· FD H· FA . FG GD BD IG FI là phân giác góc G· FH FH HA AC IH · Câu Suy ra FI là phân giác góc AFD 12b Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. Khi đó IM = IN 1 IM.AB S 1 Ta có IAB 2 . S 1 2 ICD IN.CD 2 Xét k =7, vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên đường tròn tạo thành lục giác đều. A Lúc đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra k 8 O B Câu 13 Với k =8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó. Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm) Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra có hai bán kính tạo với nhau một góc nhỏ hơn 600. Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc ·AOB không là góc lớn nhất của tam giác OAB nên AB max OA,OB 1 Vậy trường hợp k = 8 thỏa mãn. Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8. --------- HẾT ---------