Tài liệu đường thẳng simson Toán Lớp 9 - Võ Tiến Trình

Nội dung tài liệu: Tài liệu đường thẳng simson Toán Lớp 9 - Võ Tiến Trình

1. toanth.net Đường thẳng Simson. Định lí về đường thẳng simson là một định lí hay, thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi toán lớp 9 hay các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán, dưới đây bài viết xin minh họa một vài cách áp dụng định lí này trong việc chứng minh ba điểm thẳng hàng trong các bài hình học lớp 9. Định lí. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm tùy ý thuộc đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng. (đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F người ta gọi là đường thẳng simson của điểm M của tam giác ABC ) Xét tứ giác AFME có AFM MEA 1800 tứ giác AFME nội tiếp FEM FAM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF) Tứ giác AMCB nội tiếp đường tròn (O) FAM MCD (cùng bù với BAM ) FEM MCD (1) Xét tứ giác MEDC có MEC MDC 900 4 điểm E, M, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính MC hay tứ giác EMCD nội tiếp MED MCD 1800 (2) Võ Tiến Trình 1
2. toanth.net Từ (1) và (2) ta có: FEM MED MCD MED 1800 DEF,, thẳng hàng. Một số ví dụ áp dụng định lí về đường thẳng simson. Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CE (E thuộc AB) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AD, Gọi F là hình chiếu vuông góc của C lên AD, M là trung điểm của BC. Chứng minh E, M, F thẳng hàng. Gọi N là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng BD. Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) , C là điểm thuộc đường tròn (O) và E, F, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên trên đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác ABD, do đó E, F, N thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm C của tam giác ABD). Xét tứ giác BECN có BEC EBN BNC 900 nên tứ giác BECN là hình chữ nhật hai đường chéo BC và EN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Vì M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm EN hay E, M, N thẳng hàng Vậy E, M, F thẳng hàng. Võ Tiến Trình 2
3. toanth.net Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O . M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Đường tròn I đường kính MB và đường tròn J đường kính MC cắt nhau tại N. a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC. b) Đường tròn I cắt AB tại P (P khác B), đường tròn J cắt AC tại Q (Q khác C). Chứng minh P, N, Q thẳng hàng. c) Qua A vẽ đường thẳng d song song với PQ và d cắt (O) tại K. Chứng minh M, N, K thẳng hàng. a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC. Vì N thuộc đường tròn đường kính MB MNB 900 N thuộc đương tròn đường kính MC MNC 900 Võ Tiến Trình 3
4. toanth.net Nên MNB MNC 1800 B , N , C thẳng hàng. b) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng. Vì P thuộc đường tròn đường kính MB MPB 900 hay MP AB Q thuộc đương tròn đường kính MC MQC 900 hay MQ AC và MN BC Nên PNQ,, thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm M của tam giác ABC ) c) Chứng minh M, N, K thẳng hàng. Gọi K’ là giao điểm của đường thằng MN với (O). Ta chứng minh K trùng K’ Ta có: K '' AC K MC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Tứ giác MNQC nội tiếp K ' MC AQN K ' AC AQN AK '/ / NQ Mà AK// NQ và KOKK  ' Vậy M, N, K thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn cùng bán kính OO ,' cắt nhau tại hai điểm A, B (O, O’ khác phía nhau đối với đường thẳng AB). Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (C, D khác A và CD không vuông góc với AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên hai tiếp tuyến tại C của (O) và tại D của (O’). Chứng minh E, F đi qua trung điểm M của CD. Võ Tiến Trình 4
5. toanth.net Vì (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau nên ta có ACB ADB BCD cân tại B BM  CD (đường trung tuyến cũng là đường cao). Gọi P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C và D của (O) và (O’). Vì PC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ABC PCD Vì PD là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên PDC ABD Ta có: CPD CBD CPD CBA DBA CPD DCP CDP 1800 (tổng ba góc trong tam giác PCD). tứ giác PCBD nội tiếp. Điểm B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD và có hình chiếu vuông góc lần lượt xuống các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác PCD là E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm B của tam giác PCD). Võ Tiến Trình 5
6. toanth.net Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O, AD là đường phân giác trong góc A (D thuộc cạnh BC). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AM của tam giác ABC tại N. Chứng minh P, N, Q thẳng hàng. Gọi E là giao điểm của AD với (O) Vì AD là phân giác nên E là điểm chính giữa cung nhỏ BC EM  BC Gọi U, V lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AC Khi đó ta có UMV,, thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm E của tam giác ABC). AP AD Ta có: DP ABEU;//  AB DP EU AU AE AQ AD DQ AC;// EV  AC DQ EV QV AE Võ Tiến Trình 6
7. toanth.net AP AQ PQ// UV (1) AU AV AN AD Ta lại có: DN BC;// EM  BC DN EM AM AE AP AN PN// UM (2) AU AM Từ (1) (2) và U, M, V thẳng hàng PNQ,, thẳng hàng. Ví dụ 5. Cho đường tròn OR; và một đường thẳng d không cắt (O). M là điểm thay đổi trên đường thẳng d, từ M ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. a) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d. b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên MA, MB. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d. Võ Tiến Trình 7
8. toanth.net a) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d. Gọi I là giao điểm của OH với AB. OK OH Ta có : OKI OHM OI.. OH OK OM OI OM Hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có: OK. OM OA2 R 2 R2 OI. OH R2 OI (không đổi vì R, OH không đổi) OH Mà OH là đường thẳng cố định I cố định AB luôn qua điểm I cố định. b) Chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên d. Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng AB. Ta có MHAB là tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính MO) Do đó 3 điểm FEP,, thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm H của tam giác MAB). Gọi J là giao điểm của FP với OH. Ta chứng minh J là trung điểm của IH. Ta có tứ giác HPAE nội tiếp (vì HPA HEA 900 ) HPE HAM Mà HAM HOM (tứ giác HAOM nội tiếp) và HOM OHP (vi trí so le trong do HP// MO ) OHP HPE HJP cân tại J IH JP Vì tam giác IHP vuông tại P nên ta có: HIP IHP HPE EPI 900 HIP EPI JPI cân tại J JP JI Vậy JH JI J là trung điểm của IH, mà IH là hai điểm cố định nên J cũng là điểm cố định. Vậy EF luôn đi qua J cố định. Võ Tiến Trình 8
9. toanth.net Một số bài tập áp dụng. Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . M là điểm trên cung BC không chứa A, MN là đường kính của O . Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB. Gọi P, Q , T lần lượt là hình chiếu của N lên BC, CA, AB. a) Chứng minh E, F, K thẳng hàng và P, Q, T thẳng hàng. b) Chứng minh EF PQ Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có MN là đường kính (M, N nằm khác phía đối với AC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên AB, AC. a) Chứng minh EF PQ . b) Chứng minh PF EQ . Bài 3. Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF (E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của F lên trên BE và BC. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của EF. Bài 4. Cho tam giác ABC có BAC 900 . Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E, đường tròn đường kính BE cắt AB, BC lần lượt tại P, Q. a) Chứng minh PQ đi qua trung điểm của EF. b) Gọi K là giao điểm của PQ với CF. Chứng minh tứ giác CQKE nội tiếp. Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đưởng tròn (O). Gọi E, H, F lần lượt là hình chiếu của D lên BC, CA, AB. a) Chứng minh E, H, F thẳng hàng. b) P là trung điểm của EH, Q là trung điểm của AB. Chứng minh PQ DP Bài 6. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Qua M vẽ MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) (A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD (C nằm giữa M, D). Đường tròn (I) đường kính DA cắt CA tại P, đường tròn (J) đường kính DB cắt CB tại Q, E là giao điểm của (I) và (J) (E khác D). Chứng minh E là trung điểm của PQ Võ Tiến Trình 9