Đề thi học sinh giỏi văn hóa môn Toán lớp 9 - Năm học 2018-2019 - PGD&ĐT Cam Lộ (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi văn hóa môn Toán lớp 9 - Năm học 2018-2019 - PGD&ĐT Cam Lộ (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT CAM LỘĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 MÔN : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2018 – 2019 Khóa ngày: 24/10/2018 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0đ) Cho biểu thức: 2 x 9 x 3 2 x 1 A= x 5 x 6 x 2 3 x a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Bài 2: (4,0 đ) a) Tìm số dư khi chia 32018 52018 cho 13 b) Tìm bộ số thực (x; y) thoả mãn điều kiện sau: 2 x 2017 2 y 2018 4033 x y Bài 3: (3,0đ) Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 x y P = 2 + 2 + 4 -3 + 0 y x y x x 2 Bài 4: (3,0đ) Giải phương trình: x 2 4 8 x 2 4 Bài 5: (4,0 đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC, O là giao điểm của các đường trung trực ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các ABC và ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh: GH HI a, AD DO b, ADG ~ DOE Từ đó suy ra OE  CD Bài 6: (2,0 đ) Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.
2. PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9. MÔN : TOÁN. NĂM HỌC: 2018 - 2019 Bài 1: (4,0đ) a, Điều kiện : x 0; x 4; x 9 2 x 9 x 3 2 x 1 A x 5 x 6 x 2 3 x 2 x 9 x 3 2 x 1 = x 3 x 2 x 2 x 3 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 = x 3 x 2 2 x 9 x 9 2 x x 4 x 2 = x 3 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 = x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 4 4 b, A 1 nguyên nguyên x 3 Ư(4) x 3 x 3 * x 3 = 1 x 16 * x 3 = -1 x 4 (loại) * x 3 = 2 x 25 * x 3 = -2 x 1 * x 3 =4 x 49 * x 3 =- 4 : Không có x (loại ) Vậy x {1;16;25;49} Bài 2: (4,0 đ) a) Ta có: 32018 32016.32 27672.9 26 1 672 .9 BS13 9 (1) 52018 251009 26 1 1009 BS13 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 32018 52018 = BS13 + 8 chia 13 dư 8 b) ĐK: x 2017, y 2018 Biến đổi phương trình trên tương đương với phương trình: ( x 2017 1)2 ( y 2018 1)2 0 Suy ra: ( x 2017 1)2 0 và ( y 2018 1)2 0 Suy ra: x 2018 và y 2019
3. Vậy bộ số thực (x;y)=(2018;2019) Bài 3: (3,0đ) x y x2 y2 x2 y2 Đặt a = , ta có a2 = 2 => a2 – 2 = (0,5đ) y x y2 x2 y2 x2 2 2 x y x y 2 Thay vào P ta có: P = 2 2 4 3 = a – 3a + 2= (a-1)(a-2) (0,75đ) y x y x x y Vì x > 0, y > 0 => a = ≥ 2 (0,5đ) y x => a – 2 ≥ 0; a – 1> 0 (0,25đ) => P = (a-1)(a-2) ≥ 0 (0,5đ) Bài 4: (3,0 đ) x 2 x 2 4 8 x 2 (1) 4 ĐK: x 2 4 0 2 x 2 2 (2) 8 x 2 0 2 2 x 2 2 x 2 4 x 2 4 x 2 4 4 x 2 4 4 ( x 2 4 2) (1) 8 x 2 8 x 2 8 x 2 4 4 4 x 2 4 2 8 x 2 x 2 4 14 2x 2 x 2 4 6 2(4 x 2 ) (*) 2 Đặt x 2 4 t(t 0) (*) trở thành:t 6 2t 2 2t 2 t 6 0 (2t 3)(t 2) 0 3 9 25 5 t x 2 4 x 2 x (thoả mãn 2) 2 4 4 2 t 2 (loại) 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 2 Bài 5 (4,0đ) A D E F O G B H I C GH HI a, GHI ~ ADO AD DO GH AD 2 2 b, ; mà DE = DF = HC 2HI HI DO 3 3 1 GH = AG 2 GH AG AD HI DE DO Mặt khác góc DAG bằng góc ODE Suy ra ADG ~ DOE
4. Bài 6 (2,0đ) - Ký hiệu: + Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là ma, mb , mc và ha , hb , hc + Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c + Diện tích tam giác ABC là S - Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1) có aha < ama < a (2) vì ma < 1 Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5) 2 2 2 4 mà a < (mb + mc) < (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1) 3 3 3 3 Tương tự b < 4 , c < 4 . 3 3 Vậy từ (5) suy ra S < 0,666... hay S < 0,67 Chú ý: HS làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa